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數形結合論文文獻綜述篇一

在數學教學中，教師如果能靈活地借助數形結合思想，會將數學問題化難為易，幫助學生理解數學問題。那么，如何在初中數學教學中挖掘數形結合思想并適時地加以應用呢？下面筆者根據日常的教學實踐談談自己的見解。

一、從有理數開始就讓中學生及早體會數形結合思想

在七年級開始，數軸的引入就大大豐富了有理數的內容，對學生認識有理數、相反數、絕對值以及有理數的運算都有很大的幫助，由于對每一個有理數，數軸上都有唯一確定的點與它對應，因此，兩個有理數大小的比較，是通過這兩個有理數在數軸上的對應點的位置關系進行的。相反數、絕對值概念則是通過相應的數軸上的點與原點的位置關系來刻劃的。盡管我們學習的是有理數，但我們要求學生時刻牢記它的形：數軸上的點。通過滲透數形結合的思想方法，幫助學生正確理解有理數的性質及其運算法則。

例如:

1、比較兩個數的大小方法：數軸上兩個點表示的數，右邊的數總比左邊的大，正數大于零，負數小于0，正數大于負數；

2、比2℃低5℃的溫度是_______；

3、若|a|=2，則a=______；

4、七年級《數學》(上)的習題，一輛貨車從超市出發，向東走了3千米到達小彬家，繼續走了1.5千米到達小穎家，然后向西走了9.5千米到達小明家，最后回到超市。在習題中也常出現這類題目。

這些內容如果適當應用數形結合的思想就很容易理解掌握了。

二、不等式(組)內容蘊藏著數形結合思想

在進行 “一元一次不等式和一元一次不等式組”，教學時，為了加深學生對不等式解集的理解，老師要適時地把不等式的解集在數軸上直觀地表示出來，使學生形象地看到，不等式有無限多個解。這里蘊藏著數形結合的重要思想方法，在數軸上表示數是數形結合思想的具體體現，而在數軸上表示數集，則比在數軸上表示數又前進了一步。確定一元一次不等式組的解集時，利用數軸更為有效，如：在分析不等式組的解集情況時，如果老師利用數軸把數轉化為“形”從而找出兩個不等式的公共解，教學效果會事倍功半。如果老師能結合數軸，畫圖表示各個不等式的解集，就很容易寫出不等式組幾種類型的解集。

三、應用題的內容也隱含豐富的數形結合思想。

用示意圖分析數學問題，就是運用數形結合思想的充分體現。小學教師在幫助學生分析解應用題，尤其有關行程問題、工程問題等方面的內容時，都不忘用示意圖。而到了中學，學生的理解分析能力都有了很大的提高，應用題的內容更為豐富了，復雜了、難度更大了，并且其難點是如何根據題意尋找等量關系布列方程，要突破這一難點，老師在教學中必須充分運用數形結合思想，根據題意畫出相應的示意圖，才能幫助學生迅速找出等量關系列出方程，從而突破難點。數形結合的思想，是最基本的數學思想之一，應用范圍較為廣泛，因此我們數學老師在教學中要注重數形結合思想方法的滲透、概括和總結，要重視數學思想方法在解題中的應用，數與形是數學中相互依賴的兩個方面，在教學中要挖掘數與形的聯系，從而加深對所學知識的理解和掌握。

數形結合論文文獻綜述篇二

小學數學數形結合教學思想

一、數形結合教學思想在小學數學教學中的運用

數形結合作為一種教學思想方法，一般包含兩方面內容，一個方面是“以形助數”，另一個方面的內容是“以數解形”。下面介紹這兩個方面的內容在小學數學教學中的運用。

（一）以形助數

所謂“以形助數”，是指老師在講解某些數學知識的時候，僅靠數字講解學生不太能理解，借助幾何圖形的特點，將所要講的知識點更直觀地展現在學生面前，從而將抽象化的問題轉變為具體化的問題。學生在學習行程問題的應用題時，可以運用圖形的辦法清晰地展現問題。如：一輛汽車從甲地開往乙地，先是經過上坡路，然后是平地，最后是下坡路，汽車上坡速度是每小時20千米，在平地的速度是每小時30千米，而下坡的速度則是每小時40千米，汽車從甲地到乙地一共上坡花了6小時，平地花了2小時，下坡花了4小時。請問汽車從乙地到甲地需要多長時間？在這道題中，既存在變量，又存在不變量。變量就是上坡路和下坡路隨著汽車行駛的方向而發生改變，當汽車從乙地到甲地行駛時，原先的上坡路變成了下坡路，原先的斜坡路變成了上坡路。而不變量就是這兩個路程汽車行駛的速度都是始終不變的。那么在解決問題的時候，就可以直觀地展現出來。先算出汽車從乙地到甲地的上坡時間，即（40×4）÷20=8（小時），然后算出下坡所花費的時間，即（20×6）÷40=3（小時），而平地所花費的時間是不變的，所以汽車從乙地到甲地所花費的時間是8+3+2=13（小時）。在這道題中，運用圖像將數學中的數量關系、運算都直觀地展現出來，學生比較易于理解，這樣的教學可以在很大程度上提高教學效率。

（二）以數解形

雖然圖形可以更加直觀地展現數學中的數量關系，但是對于一些幾何圖形，特別是小學數學中的幾何圖形來講，非常簡單，如果僅僅是通過直接觀察反而看不出規律，這時就可以運用“以數解形”的方式教學。比如老師在講解“平行四邊形的特征”一課時，很多學生通過學習，對概念性的東西已經非常了解，但是在具體的情況下又不能真正把握清楚，老師在教學過程中就可以通過對四邊形進行賦值，讓學生更深刻地理解和把握。比如給出三組數字：（1）6，5，3，7（2）7，5，5，7（3）8，6，4，6在這三組數字中，讓學生選擇平行四邊形。那么學生理解了平行四邊形的概念，即兩組對邊要平行且相等，通過比較分析，知道只有第二組數字符合平行四邊形的概念。因此，在這樣的教學中應該充分運用“數”與“形”的特點，幫助學生更快地掌握知識要點。

二、在小學數學教學中運用數形結合教學思想需要注意的問題

（一）注意培養學生運用數形結合方法的習慣

老師在小學數學中運用數形結合的方法進行教學，幫助學生更好地理解知識點，同時要注意培養學生運用數形結合方法解決數學題的習慣。小學生在平時的做題過程中，常常會忘了使用“數形結合”方法，有的還不會。因此，老師在平時的教學中，一定要培養學生養成運用數形結合方法的好習慣。針對不同的年齡段學生，采用不同的方法，比如低年級學生，引導學生在生活中找實物，高年級的學生則學會簡單的畫圖等，讓學生建立數形結合的思想。

（二）數形結合要注意利用多媒體技術 多媒體的發展已經迅速蔓延到教學領域，對于比較難懂的知識點，老師要借助多媒體技術實施教學。因為多媒體技術可以移動圖像，當碰到需要運用想象思維的時候，可以在多媒體中進行展示。

三、結語

在小學數學中運用數形結合教學思想，可以有效提高課堂教學效率，幫助學生更快地理解知識點。教師應根據不同情況，綜合運用“以形助數”和“以數解形”這兩種不同方式，取得更好的教學效果。

作者：季利明 工作單位：赤峰市元寶山區元寶山鎮馬林小學

數形結合論文文獻綜述篇三

高考沖刺：數形結合

編稿：林景飛

審稿：張揚

責編：辛文升 熱點分析 高考動向

數形結合應用廣泛，不僅在解答選擇題、填空題中顯示出它的優越性，而且在解決一些抽象數學問題中常起到事半功倍的效果。高考中利用數形結合的思想在解決選、填題中十分方便，而在解答題中書寫應以代數推理論證為主，幾何方法可作為思考的方法。數形結合的重點是研究“以形助數”，但“以數解形”在近年高考試題中也得到了加強，其發展趨勢不容忽視。歷年的高考都有關于數形結合思想方法的考查，且占比例較大。

知識升華

數形結合是通過“以形助數”（將所研究的代數問題轉化為研究其對應的幾何圖形）或“以數助形”（借助數的精確性來闡明形的某種屬性），把抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來思考，也就是將抽象思維與形象思維有機地結合起來，是解決問題的一種數學思想方法。它能使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，在數學解題中具有極為獨特的策略指導與調節作用。

具體地說，數形結合的基本思路是：根據數的結構特征，構造出與之相應的幾何圖形，并利用圖形的特性和規律，解決數的問題；或將圖形信息全部轉化成代數信息，使解決形的問題轉化為數量關系的討論。

選擇題，填空題等客觀性題型，由于不要求解答過程，就某些題目而言，這給學生創造了靈活運用數形結合思想，尋找快速思路的空間。但在解答題中，運用數形結合思想時，要注意輔之以嚴格的邏輯推理，“形”上的直觀是不夠嚴密的。 1．高考試題對數形結合的考查主要涉及的幾個方面：

（1）集合問題中venn圖（韋恩圖）的運用；

（2）數軸及直角坐標系的廣泛應用；

（3）函數圖象的應用；

（4）數學概念及數學表達式幾何意義的應用；

（5）解析幾何、立體幾何中的數形結合。

2．運用數形結合思想分析解決問題時，要遵循三個原則：

（1）等價性原則。要注意由于圖象不能精確刻畫數量關系所帶來的負面效應；

（2）雙方性原則。既要進行幾何直觀分析，又要進行相應的代數抽象探求，僅對代數問題進行幾何分

析容易出錯；

（3）簡單性原則。不要為了“數形結合”而數形結合，具體運用時，一要考慮是否可行和是否有利；

二要選擇好突破口，恰當設參、用參、建立關系，做好轉化；三要挖掘隱含條件，準確界定參變

量的取值范圍，特別是運用函數圖象時應設法選擇動直線與定二次曲線為佳。

3．進行數形結合的信息轉換，主要有三個途徑：

（1）建立坐標系，引入參變數，化靜為動，以動求解，如解析幾何；

（2）構造成轉化為熟悉的函數模型，利用函數圖象求解；

（3）構造成轉化為熟悉的幾何模型，利用圖形特征求解。 4．常見的“以形助數”的方法有：

（1）借助于數軸、文氏圖，樹狀圖，單位圓；

（2）借助于函數圖象、區域（如線性規劃）、向量本身的幾何背景；

（3）借助于方程的曲線，由方程代數式，聯想其幾何背景，并用幾何知識解決問題，如點，直線，斜

率，距離，圓及其他曲線，直線和曲線的位置關系等，對解決代數問題都有重要作用，應充分予

以重視。

5．常見的把數作為手段的數形結合：

主要體現在解析幾何中，歷年高考的解答題都有這方面的考查。

經典例題透析

類型一：利用數形結合思想解決函數問題 1．（2010全國ⅰ·理）已知函數a+2b的取值范圍是

a．

解析：畫出

由題設有，

b．的示意圖。 ， ，若，且，則

c．

d．

∴ ，

令 ，

則

∵

∴ ， ∴ 在，

。 上是增函數。

∴

舉一反三：

【變式1】已知函數

。選c.

在0≤x≤1時有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴拋物線， 的開口向下，對稱軸是，如圖所示：

（1）

（2）

（3）

（1）當a＜0時，如圖（1）所示， 當x=0時，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，適合a＜0。

（2）當0≤a≤1時，如圖（2）所示， 當x=a時，y有最大值，即

。 。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合題意。

（3）當a＞1時，如圖（3）所示。

當x=1時，y有最大值，即

綜合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【變式2】已知函數

（ⅰ）寫出

（ⅱ）設的單調區間； ，求

在[0，a]上的最大值。

。

。∴a=2。

解析：

如圖：

（1）的單調增區間：

，；單調減區間：（1，2）

時，，。

（2）當a≤1時，當

當

【變式3】已知

()

（1）若，在上的最大值為，最小值為，求證：；

（2）當]時，都

，時，對于給定的負數，有一個最大的正數，使得x∈[0,

有|f(x)|≤5，問a為何值時，m(a)最大？并求出這個最大值。

解析：

（1）若a=0，則c=0，∴f(x)=2bx

當-2≤x≤2時，f(x)的最大值與最小值一定互為相反數，與題意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假設，

∴區間[-2,2]在對稱軸的左外側或右外側，

∴f(x)在[-2，2]上是單調函數，

（這是不可能的）

（2）當，時，，

∵，所以，

（圖1）

（圖2）

（1）當

所以

即是方程，時（如圖1），則的較小根，即

（2）當

所以

即是方程，時（如圖2），則的較大根，即

（當且僅當

時，等號成立），

由于，

因此當且僅當時，取最大值

類型二：利用數形結合思想解決方程中的參數問題 2．若關于x的方程有兩個不同的實數根，求實數m的取值范圍。

思路點撥：將方程的左右兩邊分別看作兩個函數，畫出函數的圖象，借助圖象間的關系后求解，可簡化運算。

解析：畫出

和的圖象，

當直線過點，即時，兩圖象有兩個交點。

又由當曲線

與曲線

相切時，二者只有一個交點，

設切點

又直線，則過切點，即，得， ，解得切點，

∴當時，兩函數圖象有兩個交點，即方程有兩個不等實根。

誤區警示：作圖時，圖形的相對位置關系不準確，易造成結果錯誤。

總結升華：

1．解決這類問題時要準確畫出函數圖象，注意函數的定義域。

2．用圖象法討論方程（特別是含參數的方程）解的個數是一種行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程兩邊的代數式看作是兩個函數的表達式（有時可能先作適當調整，以便于作圖），然后作出兩

個函數的圖象，由圖求解。

3．在運用數形結合思想分析問題和解決問題時，需做到以下四點：

①要準確理解一些概念和運算的幾何意義以及曲線的代數特征；

②要恰當設參，合理用參，建立關系，做好轉化；

③要正確確定參數的取值范圍，以防重復和遺漏；

④精心聯想“數”與“形”，使一些較難解決的代數問題幾何化，幾何問題代數化，便于問題求解。

舉一反三：

【變式1】若關于x的方程在（－1，1）內有1個實根，則k的取值范圍是 。

解析：把方程左、右兩側看作兩個函數，利用函數圖象公共點的個數來確定方程根的個數。

設（x∈－1，1）

如圖：當內有1個實根。

或時，關于x的方程在（－1，1）

【變式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范圍及這兩個實根的和。

有兩個不同的實數根，求實數m的解析：將原方程

與直線

轉化為三角函數的圖象

有兩個不同的交點時，求a的范圍及α+β的值。

設，，在同一坐標中作出這兩個函數的圖象

由圖可知，當

或

時，y1與y2的圖象有兩個不同交點，

即對應方程有兩個不同的實數根，

若，設原方程的一個根為，則另一個根為。

∴。

若，設原方程的一個根為，則另一個根為，

∴。

所以這兩個實根的和為或。

且由對稱性可知，這兩個實根的和為或。

類型三：依據式子的結構，賦予式子恰當的幾何意義，數形結合解答

3．（北京2010·理）如圖放置的邊長為1的正方形pabc沿x軸滾動，設頂點，則函數的最小正周期為________；

在其兩個相鄰的軌跡方程是零點間的圖象與x軸所圍成的區域的面積為________.

解析：為便于觀察，不妨先將正方形pabc向負方向滾動，使p點落在x軸上的點，此點即是函數的一個零點（圖1）。

（一）以a為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點b位于x軸上，

頂點p畫出了a為圓心，1為半徑的個圓周（圖2）；

（二）繼續以b為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時頂點c位于x軸上，

頂點p畫出b為圓心，為半徑的個圓周（圖3）；

（三）繼續以c為中心，將正方形沿x軸正方向滾動90°，此時，頂點p位于x軸上，為點，

它畫出了c為圓心，1為半徑的個圓周（圖4）。為又一個零點。

∴ 函數的周期為4.

相鄰兩個零點間的圖形與x軸圍成的圖形由兩個半徑為1的圓、

半徑為的圓和兩個直角邊長為1的直角三角形，其面積是

。

舉一反三：

2

2【變式1】已知圓c：(x+2)+y=1，p（x，y）為圓c上任一點。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：聯想所求代數式的幾何意義，再畫出草圖，結合圖象求解。

（1）

表示點（x，y）與原點的距離，

由題意知p（x，y）在圓c上，又c（―2，0），半徑r=1。

∴|oc|=2。的最大值為2+r=2+1=3， 的最小值為2―r=2―1=1。

（2）表示點（x，y）與定點（1，2）兩點連線的斜率，

設q（1，2），，過q點作圓c的兩條切線，如圖：

將整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，

所以的最大值為，最小值為。

（3）令x―2y=u，則可視為一組平行線系，

當直線與圓c有公共點時，可求得u的范圍，

最值必在直線與圓c相切時取得。這時

∴

。 ，最小值為

。 ，

∴x―2y的最大值為

【變式2】求函數

解析：的最小值。

則y看作點p（x，0）到點a（1，1）與b（3，2）距離之和

如圖，點a（1，1）關于x軸的對稱點a＇（1，－1），則 即為p到a，b距離之和的最小值，∴

【變式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的兩根分別為橢圓、雙曲線的離心率，則值范圍是（ ）

2的取

a．

b．或

c．

d．或

解析：如圖

由題知方程的根，一個在（0，1）之間，一個在（1，2）之間，

則 ，即

下面利用線性規劃的知識，則斜率

可看作可行域內的點與原點o（0，0）連線的 則 ，選c。