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數學橢圓的解題技巧和方法篇一

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數學的復習策略及其橢圓技巧對考生來說極其重要。以下是小編整理的數學橢圓的解題技巧，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。

做題一般都需要設點的坐標或直線方程，其中點或直線的設法有很多種。其中點可以設為等，如果是在橢圓上的點，還可以設為。一般來說，如果題目中只涉及到唯一一個橢圓上的的動點，這個點可以設為。還要注意的是，很多點的坐標都是設而不求的。對于一條直線，如果過定點并且不與y軸平行，可以設點斜式，如果不與x軸平行，可以設，如果只是過定點，可以設參數方程，其中α是直線的傾斜角。一般題目中涉及到唯一動直線時可以設直線的參數方程。

有的時候題目給的條件是不能直接用或直接用起來不方便的，這時候就需要將這些條件轉化一下。對于一道題來說這是至關重要的一步，如果轉化得巧，可以極大地降低運算量。比如點在圓上可以轉化為向量點乘得零，三點共線可以轉化成兩個向量平行，某個角的角平分線是一條水平或豎直直線則這個角的兩條邊斜率和是零。

有的題目可能不需要轉化直接帶入條件解題即可，有的題目給的條件可能有多種轉化方式，這時候最好先別急著做題，多想幾種轉化方法，估計一下哪種方法更簡單。

轉化完條件就剩算數了。很多題目都要將直線與橢圓聯立以便使用一元二次方程的韋達定理，但要注意并不是所有題目都是這樣。有的題目可能需要算弦長，可以用弦長公式，設參數方程時，弦長公式可以簡化為解析幾何中有時要求面積，如果o是坐標原點，橢圓上兩點a、b坐標分別為和，ab與x軸交于d，則

（d是點o到ab的距離;第三個公式是我自己推的，教材上沒有，解答題慎用）。

解析幾何中很多題都有動點或動直線。如果題目只涉及到一個動點時，可以考慮用參數設點。若是只涉及一個過定點的動直線，題目中又涉及到求長度面積之類的東西，這時設直線的參數方程會簡單一些。

在解析幾何中還有一種方法叫點差法，設橢圓上兩個點的坐標，將兩點在橢圓上的方程相減，整理即可得到這兩點的中點的橫縱坐標與這兩點連線的斜率的關系式。

做解析幾何題，首先對人的耐心與信心是一種考驗。在做題過程中可能遇到會一大長串的式子要化簡，這時候，只要你方向沒錯，堅持算下去肯定能看到最終的結果。另外運算速度和準確率也是很重要的，在真正考試的時候肯定不像平時做題的時候能容你慢慢做題，因此需要有一定的做題速度，在做題的時候運算準確也是必須要保證的，因為一旦算錯數，就很可能功虧一簣。

這一部分主要說一些對做題有幫助的公式、定理、推論等內容關于直線：

1、將直線的兩點式整理后，可以得到這個方程：。據此可以直接寫出過和兩點的直線，至于這兩點連線是否與x軸垂直，是否與y軸垂直都沒有關系。對于一些坐標很復雜的點，可以直接代入這個方程便捷的得到過兩點的直線。

2、直線一般式ax+by+c=0表示的這條直線和向量（a，b）垂直;過定點的直線的一般式可以寫為。根據這兩條推論可以快速地寫出兩點的垂直平分線的方程。

關于橢圓：

3、橢圓的焦點弦弦長為

（其中α是直線的傾斜角，k是l的斜率）。右焦點的焦點弦中點坐標為，將橫縱坐標都取相反數可得左焦點弦的中點坐標。

4、根據橢圓的第二定義，橢圓上的點到焦點的距離與到同一側的準線的距離之商等于橢圓的離心率。橢圓的準線是。

考前要摒棄雜念，排除干擾思緒，使大腦處于“空白”狀態，創設數學情境，進而醞釀數學思維，提前進入“角色”，通過清點用具、暗示重要知識和方法、提醒常見解題誤區和自己易出現的錯誤等，進行針對性的自我安慰，從而減輕壓力，輕裝上陣，穩定情緒、增強信心，使思維單一化、數學化、以平穩自信、積極主動的心態準備應考。

集中注意力是的保證，一定的神經亢奮和緊張，能加速神經聯系，有益于積極思維，要使注意力高度集中，思維異常積極，這叫內緊，但緊張程度過重，則會走向反面，形成怯場，產生焦慮，抑制思維，所以又要清醒愉快，放得開，這叫外松。

良好的開端是成功的一半，從考試的心理角度來說，這確實是很有道理的，拿到后，不要急于求成、立即下手解題，而應通覽一遍整套，摸透題情，然后穩操一兩個易題熟題，讓自己產生“旗開得勝”的快意，從而有一個良好的開端，以振奮精神，鼓舞信心，很快進入最佳思維狀態，即發揮心理學所謂的“門坎效應”，之后做一題得一題，不斷產生正激勵，穩拿中低，見機攀高。

在通覽全卷，將簡單題順手完成的情況下，情緒趨于穩定，情境趨于單一，大腦趨于亢奮，思維趨于積極，之后便是發揮臨場解題能力的黃金季節了。這時，考生可依自己的解題習慣和基本功，結合整套試題結構，選擇執行“六先六后”的戰術原則。

1、先易后難。就是先做簡單題，再做綜合題。應根據自己的實際，果斷跳過啃不動的題目，從易到難，也要注意認真對待每一道題，力求有效，不能走馬觀花，有難就退，傷害解題情緒。

2、先熟后生。通覽全卷，可以得到許多有利的積極因素，也會看到一些不利之處。對后者，不要驚慌失措。應想到試題偏難對所有考生也難。通過這種暗示，確保情緒穩定。對全卷整體把握之后，就可實施先熟后生的策略，即先做那些內容掌握比較到家、題型結構比較熟悉、解題思路比較清晰的題目。這樣，在拿下熟題的同時，可以使思維流暢、超常發揮，達到拿下中高檔題目的目的。

3、先同后異，就是說，先做同科同類型的題目，思考比較集中，知識和方法的溝通比較容易，有利于提高單位時間的效益。高考題一般要求較快地進行“興奮灶”的轉移，而“先同后異”，可以避免“興奮灶”過急、過頻的跳躍，從而減輕大腦負擔，保持有效精力，

4、先小后大。小題一般是信息量少、運算量小，易于把握，不要輕易放過，應爭取在大題之前盡快解決，從而為解決大題贏得時間，創造一個寬松的`心理基矗

5、先點后面，近年的高考數學解答題多呈現為多問漸難式的“梯度題”，解答時不必一氣審到底，應走一步解決一步，而前面問題的解決又為后面問題準備了思維基礎和解題條件，所以要步步為營，由點到面

6、先高后低。即在考試的后半段時間，要注重時間效益，如估計兩題都會做，則先做高分題;估計兩題都不易，則先就高分題實施“分段得分”，以增加在時間不足前提下的得分。

有些考生只知道考場上一味地要快，結果題意未清，條件未全，便急于解答，豈不知欲速則不達，結果是思維受阻或進入死胡同，導致失敗。應該說，審題要慢，解答要快。審題是整個解題過程的“基礎工程”，題目本身是“怎樣解題”的信息源，必須充分搞清題意，綜合所有條件，提煉全部線索，形成整體認識，為形成解題思路提供全面可靠的依據。而思路一旦形成，則可盡量快速完成。

數學高考題的容量在120分鐘時間內完成大小26個題，時間很緊張，不允許做大量細致的解后檢驗，所以要盡量準確運算（關鍵步驟，力求準確，寧慢勿快），立足一次成功。解題速度是建立在解題準確度基礎上，更何況數學題的中間數據常常不但從“數量”上，而且從“性質”上影響著后繼各步的解答。所以，在以快為上的前提下，要穩扎穩打，層層有據，步步準確，不能為追求速度而丟掉準確度，甚至丟掉重要的得分步驟。假如速度與準確不可兼得的說，就只好舍快求對了，因為解答不對，再快也無意義。

考試的又一個特點是以卷面為唯一依據。這就要求不但會而且要對、對且全，全而規范。會而不對，令人惋惜;對而不全，得分不高;表述不規范、字跡不工整又是造成高考數學非因素失分的一大方面。因為字跡潦草，會使閱卷的第一印象不良，進而使閱卷認為考生不認真、基本功不過硬、“感情分”也就相應低了，此所謂心理學上的“光環效應”?！皶鴮懸ふ?，卷面能得分”講的也正是這個道理。

會做的題目當然要力求做對、做全、得，而更多的問題是對不能全面完成的題目如何分段得分。下面有兩種常用方法。

1、缺步解答。對一個疑難問題，確實啃不動時，一個明智的解題策略是：將它劃分為一個個子問題或一系列的步驟，先解決問題的一部分，即能解決到什么程度就解決到什么程度，能演算幾步就寫幾步，每進行一步就可得到這一步的分數。如從最初的把文字語言譯成符號語言，把條件和目標譯成數學表達式，設應用題的未知數，設軌跡題的動點坐標，依題意正確畫出圖形等，都能得分。還有象完成數學歸納法的第一步，分類討論，反證法的簡單情形等，都能得分。而且可望在上述處理中，從感性到理性，從特殊到一般，從局部到整體，產生頓悟，形成思路，獲得解題成功。

2、跳步解答。解題過程卡在一中間環節上時，可以承認中間結論，往下推，看能否得到正確結論，如得不出，說明此途徑不對，立即否得到正確結論，如得不出，說明此途徑不對，立即改變方向，尋找它途;如能得到預期結論，就再回頭集中力量攻克這一過渡環節。若因時間限制，中間結論來不及得到證實，就只好跳過這一步，寫出后繼各步，一直做到底;另外，若題目有兩問，第一問做不上，可以第一問為“已知”，完成第二問，這都叫跳步解答。也許后來由于解題的正遷移對中間步驟想起來了，或在時間允許的情況下，經努力而攻下了中間難點，可在相應題尾補上。

對于一個較一般的問題，若一時不能取得一般思路，可以采取化一般為特殊（如用特殊法解選擇題），化抽象為具體，化整體為局部，化參量為常量，化較弱條件為較強條件，等等?？傊说揭粋€你能夠解決的程度上，通過對“特殊”的思考與解決，啟發思維，達到對“一般”的解決。

對一個問題正面思考發生思維受阻時，用逆向思維的方法去探求新的解題途徑，往往能得到突破性的進展。順向推有困難就逆推，直接證有困難就反證。如用分析法，從肯定結論或中間步驟入手，找充分條件;用反證法，從否定結論入手找必要條件。

對探索性問題，不必追求結論的“是”與“否”、“有”與“無”，可以一開始，就綜合所有條件，進行嚴格的推理與討論，則步驟所至，結論自明。

解決應用性問題，首先要全面調查題意，迅速接受概念，此為“面”;通過冗長敘述，抓住重點詞句，提出重點數據，此為“點”;綜合聯系，提煉關系，依靠數學方法，建立數學模型，此為“線”。如此將應用性問題轉化為純數學問題。當然，求解過程和結果都不能離開實際背景。

（一）使用待定系數法確定橢圓方程

例題1：已知橢圓的中心為原點，橢圓同時經過兩點，分別為m（6，1），n（3，2），請寫出橢圓方程。分析題目：我們在做題的時候，第一步是讀題，再從題目中提取有用信息，之后根據之前做題的經驗判斷出本題的解題切入角度，最后在開始解題。本例題就可以將橢圓方程設為ax2+by2=1（a>0，b>0，且a≠b）。解題步驟為：因為橢圓過m、n兩點，所以a、b兩點在橢圓上，坐標適合于橢圓方程。那么36a+b=1 （1），9a+4b=1 （2），將（1）（2）兩式聯立，最后得出a=1/45，b=1/5.所以橢圓方程為x2/45+y2/5=1.此類橢圓題目就可以根據題目信息，使用待定系數法求出橢圓方程，換言之，就是通過對a和b求解，再將橢圓方程寫出來。第一步是確定題型，再選用合適的方法，最后計算。但是利用待定系數法解決題目的時候，需要根據具體題型寫出最方便解題的橢圓方程，比如將橢圓方程寫作ax2+by2=1（a>0，b>0，且m≠n），在將題目中給定的數據帶入計算出a和b的數值，也就寫出橢圓方程了。

（二）根據橢圓定義解題

高中數學中對橢圓的定義為：平面內和兩個定點分別記為f1和f2之間的距離之和大于常數2a（數學表達式為：2a>f1f2│）的動點p的運動軌跡稱為橢圓，數學表達式寫作：│pf1│+│pf2│=2a。本公式中的兩個定點f1、f2稱作橢圓的焦點，兩個焦點與坐標軸之間的距離用字母c表示，數學公式為：│f1f2│=2c<2a，2c為橢圓的焦距，p為橢圓上的動點。在做橢圓題目的時候，遇到求解橢圓焦點問題時，就可以使用這種方法解決。例題2：已知△abc的底邊ab=14，ac和bc兩條邊上的中線長度之和為27，求解此三角形中心g的運動軌。分析題目：有題目給出的條件可以得出│ag│+│bg│=18，之后再根據橢圓的定義進行求解。解題步驟為：設ab所在直線為x軸，ab中點為坐標原點建立直角坐標系。g點的坐標為（x，y），因為│ag│+│bg│=18，所以三角形重心g的運動軌跡是以a、b兩點作為焦點的橢圓，又因為a、b兩點在坐標軸上，所以得出a=9，c=7，所以b=2√8。所以橢圓方程為x2/81+y2/49=1，（y≠0）。

但是在實際的解題的時候，題目并不會如此單一，很多時候會與其他知識點相結合考察，所以就需要我們高中生提高自己對基礎知識的掌握程度，平時在課下對所學知識點進行練習鞏固，將各個知識點融會貫通，養成一定的做題慣性。通常會有兩種方法結合使用的題目，我們在做題的時候需要以定義法作為解題的基礎方法，再考慮其他的解題方法，有時候一個題目有多種解法，但是計算過程中計算量不同，所需要花費的解題時間也不一樣，因此我們在平時做練習題的時候，需要對同一題目采用多種解題方法解答問題，拓寬自己解題的思路。隨著新時代課程改革的進展，橢圓問題的解決方法也會逐漸增多，比如向量法、數形結合法等。隨著這些知識點與橢圓等圓錐曲線問題的結合考察與解答，可以幫助我們高中生拓寬解題思維方向，輕松解答各種高中數學題目。也需要高中生在不斷的練習過程中，歸納總結題型以及簡便解法，讓自己在上考場的時候，利用最少的時間做出題目，并保證正確率，最后獲得高分，進入自己理想的大學。

在上文解題的時候也簡要指出解答橢圓問題的方法步驟。第一步就是讀題，審題。本步驟是解答問題的關鍵性操作，因為通過對題目的閱讀與審判，知道本題是何種題型、使用何種解題方法。從給出的信息條件中找到解題時需要使用的關鍵信息，了解題目的已知條件以及位置關系，根據橢圓的標準方程進行推導計算。下一步就是在解題的過程使用運用之前自己學習的知識，解答問題。這與我們高中生平時的積累聯系息息相關，對于基礎知識的掌握程度的高低是做對題目幾率大小的基礎。在教學中，教師要關注橢圓的定義、標準方程、幾何性質等知識，直線與橢圓的位置關系主要出現在解答題中，題型主要以選擇、填空題為主，一般為中等難度題。目前我國高中數學知識之間的聯系越來越密切，因此我們高中生在學習橢圓知識的時候，需要循序漸進，由淺入深，還需要與其他知識點進行結合，在學習新知識的同時，鞏固學過的知識。需要做到簡答問題必須做對，中級問題盡最大努力學會，課下多練習，考試的時候爭取做對，而高難度問題需要我們在平時的聯系中多做，考試的時候如果不會，就將自己會的步驟寫下來，爭取多得分。

作為一名在讀高中學生，我們在課堂上學習橢圓知識的時候，需要特別注意老師解題時對橢圓標準方程的推導步驟以及使用的計算方法。并且隨著學習的不斷深入，要注重對所學知識、題型的歸納總結，增強對知識點的掌握能力，為之后的學習打下堅實的基礎。目前我國高中教材中對圓錐曲線章節是按照圓-橢圓-雙曲線-拋物線的順序進行安排的，教師在講課的時候大部分也是按照課本的順序講解的，所以我們學生在學習的時候需要學好每一部分知識，一步一個腳印，扎實掌握每一部分。還需要提高對基礎知識的重視程度，俗話說，地基打不牢，大樓頃刻倒塌。所以在學習的過程中，根據老師講課進度、練習題難度的增加，鞏固知識，一層層的推進，從易到難，由淺及深。我們還需要注意對自己錯題的整理與歸納，通過反復的練習，增強自己解題的感覺。除了上述方法之外，還可以在解題的時候引入數形結合的數學解題思維，將所學知識從課本上升至實例中?，F在某些地方的教師在講課的時候，可能錯估了學生學習接受鞏固知識的時間，也對學生可以接受的難度判斷失誤，使得自己講的知識難度增加，而學生們無法跟上老師的進度，導致我們在學習橢圓知識的時候，基礎知識掌握不牢固，難點知識學不會。因此我們學生自己必須根據老師推薦的資料進行自我練習，根據高考試卷了解考點及難度，歸納總結考試中使用的解題方法以及解題技巧，不斷提高題目的難度，以幫助自己提高做題效率和考試成績。目前，橢圓作為我國高考數學試卷中考試重點知識，往往會與其他圓錐曲線聯合考察，比如拋物線和雙曲線，應該在做練習的時候注意與其他知識點結合，具體題目具體分析，我們在學習的時候必須將橢圓知識掌握牢固，為后續圓錐曲線的學習奠定基礎。

總而言之，高中數學中所考到的橢圓題型復雜多變，解題方法也靈活，但是其考察的知識點范圍是一定的，需要我們注意扎實掌握基礎知識，利用課余時間多加練習。平時我們常用的解題方法基本上就以下幾種：性質法、待定系數法和定義法。我們在平時學習的時候還需要調動自己學習的主動性，培養自己學習數學的興趣，在練習題中獲得快樂，可以對數學知識與知識背后的故事結合理解，豐富學習的內容，拓寬解題思路。希望所有的高中都能考出一個好成績，步入理想的大學。

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