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已知A,B,C是半徑為1的求O的球面上的三個點
題目

已知A,B,C是半徑為1的求O的球面上的三個點,且AC⊥BC,AC=BC=1,則三棱錐O-ABC的體積為(      )

A、

     B、

      C、

      D、

可圈可點用戶
2021-06-08 12:08
優質解答

答案
A
擴展知識

三棱錐頂點射影與底面三角形的“心”

設有三棱錐P-ABC,P在平面ABC上的射影為O,現討論當三棱錐滿足什么條件時,O分別是△ABC的外心、內心、旁心、重心、垂心(三角形五心)。

外心

若O是△ABC的外心,則OA=OB=OC。由于OP⊥平面ABC(射影的定義),因此OP⊥OA、OP⊥OB、OP⊥OC。勾股定理得PA=PB=PC。又tanPAO=OP/OA,tanPBO=OP/OB,tanPCO=OP/OC,由此可知∠PAO=∠PBO=∠PCO。

綜上,可得到以下定理:

當三棱錐的三條側棱相等時,頂點在底面的射影是底面三角形的外心。

當三棱錐的三條側棱與底面所成角相等時,頂點在底面的射影是底面三角形的外心。

內心

若O是△ABC的內心,則O到三邊距離相等,且O在△ABC內。設O到BC、AC、AB的垂線段分別為OD、OE、OF,那么OD=OE=OF。由勾股定理得PD=PE=PF。又tanPDO=OP/OD,tanPEO=OP/OE,tanPFO=OP/OF,因此∠PDO=∠PEO=∠PFO。

且由三垂線定理可知PD⊥BC、PE⊥AC、PF⊥AB,即∠PDO、∠PEO、∠PFO分別是二面角P-BC-A、P-AC-B、P-AB-C的平面角。

綜上,可得到以下定理:

當三棱錐的頂點到底面三角形三邊距離相等,且頂點在底面的射影在底面三角形的內部,那么射影是內心。

當三棱錐的各個側面與底面構成的二面角相等,且頂點在底面的射影在底面三角形的內部,那么射影是內心。

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可圈可點用戶
2021-06-08 17:08
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