人的記憶力會隨著歲月的流逝而衰退，寫作可以彌補記憶的不足，將曾經的人生經歷和感悟記錄下來，也便于保存一份美好的回憶。寫范文的時候需要注意什么呢？有哪些格式需要注意呢？這里我整理了一些優秀的范文，希望對大家有所幫助，下面我們就來了解一下吧。

數學史論文篇一

讀完《這才是好讀的數學史》之后，我最想表達的就是對數學悠長的歷史的感嘆，這本書讓我了解到從3.7萬年前到現在21世紀的數學的發展與進步，也明白了數學在生活中的重要性。

下面我將介紹幾點我印象最深刻的內容：

在書中第一章：開端中介紹了四大文明古國的數學文化，包括當時的人們用什么材質的東西來記錄數學，用數學干什么以及保存情況如何。在這一章講述古巴比倫的數學是寫了他們數學中幾個特征，包括以60的冪表示數字，所以接近4000年后的今天為什么仍然把一小時分成60分，把一分鐘分成60秒。在這一章中也講了我國古代的數學文化，在書中介紹了《算經十書》《九章算術》等中國古代的數學經典，由于種種原因導致當時的數學文化的損失，但作者實事求是，沒有寫一些沒有歷史根據的東西，再一次讓我感受到這本書的嚴謹。

書中是按國家的順序進行安排的，因為如果按時間順序安排的話，很容易弄混淆，作者按照時間線上在某個時間點上最重要的事情的國家來安排，體現了本書“好讀”的特點。

在書中有一個細節讓我注意，每一章最后都會有一段來推薦一些關于本章內容更詳細的講解的書目，甚至詳細到了具體在哪一章，在書的最后把對應的書名寫了出來(雖然是英語的，我看不懂)從中可以看到作者對待數學的嚴謹和細致。

我非常喜歡在書中的一句話“學習數學就像認識一個人一樣，你對他(她)的過去了解的越多，你現在和將來就能越理解他(她)，并與其互動。”這句話感覺就像說中了我的感受，我認為閱讀完之后，自己不僅會對數學更有興趣，而且在以后學習數學的時候更加認真對待。

文檔為doc格式。

數學史論文篇二

摘要：在對數學背景的統計中，我們發現，數學史知識的引入占了很大的比重。

關鍵詞：引入教學史、穿插教學命題。

隨著數學教育理念的轉型和數學教學觀念的變革，我國的基礎教育發生了重大的變化。自9月實施新課程標準以來，我國在數學教材的寫上也相應地發生了很大的變化。受傳統的教育機制的影響，我國以前的數學教育偏重于機械訓練和題海戰術，教學不從學生的生活實際出發，無論是教材還是教學都脫離知識背景，沒有教學情境，這種應試教育已不適應國際數學教育的發展潮流，已不符合現代素質教育的要求。現在的基礎教育中，雖然不同的學校使用的新教材版本不同，但都是根據新一輪的課程改革標準編寫的。這些教材無論從教學理念，還是數學內容上與人教版教材（人教社）發生了很大的變化。出版的《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》在3個學段的教材編寫建議中，也都明確提出應介紹有關的數學背景知識，“在對數學內容的學習過程中，教材中應當包含一些輔助材料，如史料、進一步研究的問題、數學家介紹、背景材料等”[1]。現行使用的新教材在教材的編寫上，數學背景知識的引入增加，而且背景知識的水平也有了較大的提高，“背景不僅包括個人生活，公共常識還，還包括科學情景”[2]。

在對數學背景的統計中，我們發現，數學史知識的引入占了很大的比重。新人教版九年義務教育數學教材中有關數學史知識的引入，無論是數量還是質量都比以前有很大的提高。新版中的數學史知識題材更廣泛，引入更詳細生動，“在引入數學史知識的同時，穿插一些數學名題，包括一些懸而未決的數學題，并注意滲透數學思想方法”[3]。數學史知識的引入教材，既能增加學生學習數學的興趣，更能幫助他們了解數學知識的歷史發展過程，增加學生的數學文化素養，這對理解數學中的有關內容會有很大的幫助。

一、激發學生學習數學的興趣。

教材中引入數學史知識有助于提高學生的學習興趣，增強學生學習數學的信心。

在中小學現在使用的`新教材中，很多概念，知識點的引入，不再是直接給出。而是創造一種智力和社會交換的環境，讓學生置身于這種環境中，這樣，為數學教學中情景教學提供了材料。數學史知識的引入，通常是以講故事的方式進行，符合兒童的心理特征。就大多數中學生而言,數學與其他學科相比確實是比較抽象、枯燥和乏味，那么如何把數學課講得引人入勝、生動活潑就成為數學教師的一大課題。作為數學教師不僅要透徹地了解所教的數學,而且還要從宏觀上來認識數學知識的發生與發展,從而能夠豐富教學內容。實際上，知識豐富引入生動的老師在授課時更能激發起學生學習數學的興趣，而那些照本宣科、就事論事的老師在授課時只能讓學生覺得數學是枯燥無味的。例如在教授一些定理時，以前的老師就是直接給出定理，然后再舉例子，這樣教的結果是導致學生學習時死記硬背、生搬硬套，如果結合數學史的歷史故事，引入它們的來源及歷史演變過程,定會引起學生學習的興趣。再如，老師在教授二元一次方程組時，引入雞兔同籠問題、百雞問題，必然會引起學生的興趣。興趣是最好的老師，學不好數學的一個關鍵就是不喜歡、沒興趣！數學較其他學科來說，本來理論性就強，學生感到抽象，如果教材板著臉孔，再加上教師照本宣科，學生就更覺得數學枯燥無味，久而久之，就會厭學，甚至怕學。故事總比單純的知識有趣，從故事引入數學知識，在背景情境中學習數學能激起學生學習數學的興趣，而數學家的刻苦鉆研的精神與卓越成就，數學中一些有趣問題的解決，以及數學中一些懸而未決的問題，更夠激發學生學習的極大興趣。

二、.幫助學生理解數學。

教科書中的數學教學知識，都是成熟的科學知識。我們從教材上看到的知識，都是數學家們的發現結果，是數學成果濃縮的形式。這些數學結論的起源是怎樣的，又是怎樣發展演變的？通過數學史知識，我們可以了解當時的數學家為什么和怎樣研究數學的。例如勾股定理,如果僅僅給出定理證明,學生也能夠掌握,但是,如果教材引入中國古代教學家的證明以及古希臘畢達哥拉斯對這個定理的發現，就會增加學生學習這個定理的興趣。蘇聯數學教育家斯托利亞爾說過：“數學教學是數學活動(思維活動)的教學，而不僅是數學活動的結果———數學知識的教學”[4]。學習數學重要的是學習過程，而不是學習數學的結論。教材上的數學公式、定理都是前人苦心鉆研經的哲學思想，我們從書本上,已看不到數學發展過程,只看到數學結論,妨礙了我們對這些數學知識的理解。教材中的數學教學內容，是成熟的科學知識，但對學生來說就是全新的，是一個再發現的過程，正確引導學生對知識的再發現，對于學生學習數學知識是很有幫助的。荷蘭數學家賴登說過：“傳統的數學教育中出現了一種不正常的現象，我們把它們稱作違反數學法的顛倒，那就是說數學家們從不按照他們發現創造真理的過程來介紹他們的工作，至于教科書做得更為徹底，往往把表達思維過程與實際創造的過程完全顛倒，因面嚴重的阻塞了再發現與再創造的通道”[5]。中小學數學教材中引入數學內容相關的數學史知識，對提高學生的數學思想方法和學生的思維能力有很大的幫助。“數學發展的歷史，實際就是數學思想方法的發展過程”[6]，而數學教材中的知識是對數學史知識快速，集中的再現，通過引入與數學知識相關的數學史知識，再現了數學知識形成和發展的過程，使學把握知識的來龍去脈，同時數學們解決問題的過程和發現創造數學知識的思維活動過程也清晰的呈現給了學生，讓學生了解數學家們是怎樣去思考問題的，對于培養學生合理的推理和對學生滲透數學思想方法有很大的幫助。

三、培養學生的人文精神。

素質教育要求改變原來授受型的教學，教學要激發學生獨立思想，培養學生探究問題的能力，理解知識產生和發展的過程，培養學生的科學精神和解決問題的能力。中小學數學中引入數學史知識，營造了一種科學情景，讓學生在學習數學中感受古今中外數學家的探究精神和嚴謹的治學態度，激發學生的探究熱情。從而有利于培養學生的探究的學習態度和精神，新一輪的課程改革，要求我們不能只重視思維的結果，更重要的是重視思維的過程。通過數學史知識的引入，再現數學知識的發展過程，讓學生從數學家的思維方法獲得思想啟迪,樹立科學世界觀。

《九年義務教育數學新課程標準》指出，在初中教材中引入數學史知識，讓學生感受數學的人文精神。數學史知識的作用，體現在對人的觀念、思想和思維方式的一種潛移默化的影響,也體現在對人類在數學活動中的探索精神和進取精神的崇尚。在教材中和數學教學中引入數學史知識，對學生進行人文精神培養，培養學生探索未知,追求真理的人文精神。數學是一門不斷變化發展的學科，它是運動的，體現了辯證法。數學中的許多定理、公式都是通過歸納、演繹的方法得到的，體現了人們認識世界的科學方法。通過數學家們刻苦鉆研、鍥而不舍的的歷史故事，教育學生樹立堅忍頑強的信念。

張奠宙先生曾指出：在數學教育中，特別是中學的數學教學過程中，運用數學史知識是進行素質教育的重要方面.。九年義務教育數學新課程重視培養學生的數學能力，同時注重對學生進行科學人文教育。現行初中數學教材中增加了大量的數學史資料,我們在數學教學中要充分利用這些資源,培養學生的數學思維能力，同時加強對學生的科學人文教育,幫助學生樹立起正確的人生觀、世界觀，培養學生科學的思想方法和高尚的道德品質。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制訂.全日制義務教育數學新課程標準人教社，

[2]九年義務教育小學數學教材人教社。

[3]九年義務教育初中數學教材人教社2007。

[4]《教育學原理》華東師范大學出版社2005。

[5]李文林《數學史概論》科學出版社2001。

[6]錢佩玲《中學數學思想方法》北京師范大學出版社。

數學史論文篇三

16世紀到17世紀，可以說是一個數學史路上一個里程碑，在16世紀早期，學者們創造了代數，他們被稱為“未知數計算家”，在那個時期，代數占據了數學史的中心位置，而到了16世紀末17世紀初，人類開始了新的探索，代數與幾何共存，以此來研究天文，工程，航海，甚至是政治上的一些問題：開勒普用希臘圓錐描述太陽系，托馬斯?哈里奧特則發展代數，笛卡爾把代數和幾何結合，從而開始理解彗星，光等現象，這一時期，可以說是各種數學成就在此出生，但最出名的，還是微積分，當時人們無法用數字表現出天體的運動，無法表現一些抽象的物體，于是牛頓與萊布尼茨發明了微積分，但微積分始終還是較為抽象，不就后，當時最著名的數學家――歐拉也做出了一系列成就：三角形中的幾何學，多面體的基本定理，有趣的是，歐拉甚至將數應用于船舶，中彩票或是過橋，歐拉將自己生活的方方面面都往數學上想，在他的世界中，數學無處不在。

我們不難看出這些數學家的發明的確大大改變了人們的生活，他們掌握了探索世界的鑰匙――數學，將數學應用到方方面面，我們現代生活不也是如此，處處是數學，但最重要的是，我們熱愛數學。

數學史論文篇四

從小到大，在學習數學的過程中，接觸大量的數學題，對數學的歷史很少提及。《數學史》，一本專門研究數學的歷史，娓娓道來，滿足了我的好奇，把數學的發展過程展示出來。

本書于1958年出版，作者j.f.斯科特。書中主要闡述西方數學的發展歷史，但也專門用一章講述印度和中國的數學發展。沿著時間軸，數學的發展經歷了從初等到高等的過程。

上古時代的古埃及人和古巴比倫人在平時的生產勞作中運用到了數學知識。

古希臘人繼承這些數學知識并不斷拓展，成為數學史上一個“黃金時代”，涌現出畢達哥拉斯、柏拉圖、亞里士多德、歐幾里得、阿基米德，丟番圖等一系列耳熟能詳的名字。

在黑暗的中世紀，數學發展處于停滯狀態，而斐波那契的出現把數學帶上復興。

文藝復興，數學又進入一個蓬勃發展的時期，對解三次方程和四次方程、三角學、數學符號、記數方法的研究沒有停步。“+”、“－”、“=”、“”、“”的符號是在那個時候出現的，同時出了一名數學家韋達――韋達定理的發明者。

17世紀，解析幾何出現、力學興起、小數和對數發明。這些都為微積分的發明奠定了基礎。牛頓和萊布尼茲兩位大師的研究，在數學領域開辟了一個新紀元。

18世紀，為完善微積分中的概念，各路數學家在數學分析方法上有所發展。歐拉、拉格朗日，柯西等大師采用極限、級數等方法讓微積分更加嚴謹。同時，非歐幾何的理論開始萌芽。

縱觀全書，數學的發展是由一群人搭建起來的。前人的工作為后人的研究奠定了基礎。后人在前人的工作上不斷突破和創新。另外，數學中也有哲理，天地有大美而不言。當看到歐拉時，想到歐拉公式；看到韋達，想到韋達定理。公式很簡潔，但把規律說清楚了。數學愛好者可以試著解里面的數學題，看看古人在當時是如何研究的，有的方法很笨拙，有的方法很巧妙。讀完后，發現學習數學，會解幾道數學題是不夠的，還要學會去培養自己的思維。畢竟數學家的思維也會受到歷史的局限。比如負數開根號，當時被人看來是無法接受，后來發明了虛數。

歷史是在不斷地前進，數學的發展亦然。想知道數學和歷史的跨界，那就來看《數學史》。

數學史論文篇五

流形是20世紀數學有代表性的基本概念，它集幾何、代數、分析于一體，成為現代數學的重要研究對象。在數學中，流形作為方程的非退化系統的解的集合出現，也是幾何的各種集合和允許局部參數化的其他對象。〔1〕53物理學中，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實例。

流形是局部具有歐氏空間性質的拓撲空間，粗略地說，流形上每一點的附近和歐氏空間的一個開集是同胚的，流形正是一塊塊歐氏空間粘起來的結果。從整體上看，流形具有拓撲結構，而拓撲結構是“軟”的，因為所有的同胚變形會保持拓撲結構不變，這樣流形具有整體上的柔性，可流動性，也許這就是中文譯成流形(該譯名由著名數學家和數學教育學家江澤涵引入)的原因。

流形作為拓撲空間，它的起源是為了解決什么問題？是如何解決的？誰解決的？形成了什么理論？這是幾何史的根本問題。目前國內外對這些問題已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基礎上，對流形的歷史演變過程進行了較為深入、細致的分析，并對上述問題給予解答。

二、流形概念的演變。

流形概念的起源可追溯到高斯(,1777-1855)的內蘊幾何思想,黎曼(n,1826-1866)繼承并發展了的高斯的想法，并給出了流形的描述性定義。隨著集合論和拓撲學的發展，希爾伯特(t,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼對流形的定義，最終外爾(,1885-1955)給出了流形的嚴格數學定義。

1.高斯-克呂格投影和曲紋坐標系。

十八世紀末及十九世紀初，頻繁的拿破侖戰爭和歐洲經濟的發展迫切需要繪制精確的地圖，于是歐洲各國開始有計劃地實施本國領域的大地測量工作。1817年，漢諾威政府命令高斯精確測量從哥廷根到奧爾頓子午線的弧長，并繪制奧爾頓的地圖，這使得高斯轉向大地測量學的問題與實踐。高斯在繪制地圖中創造了高斯-克呂格投影，這是一種等角橫軸切橢圓柱投影，它假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切于某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各3°或1.5°經線范圍內的經緯線投影到橢圓柱面上，然后將橢圓柱面展開成平面。

采用分帶投影的方法，是為了使投影邊緣的變形不致過大。當大的控制網跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面坐標的鄰帶換算。高斯-克呂格投影相當于把地球表面看成是一塊塊平面拼起來的，并且相鄰投影帶的坐標可以進行換算。這種繪制地圖的方式給出了“流形”這個數學概念的雛形。

大地測量的實踐導致了高斯曲面論研究的豐富成果。由于地球表面是個兩極稍扁的不規則橢球面，繪制地圖實際上就是尋找一般曲面到平面的保角映射。高斯利用復變函數，得出兩個曲面之間存在保角映射的充要條件是兩個曲面的第一類基本量成比例。高斯關于這一成果的論文《將一給定曲面投影到另一曲面而保持無窮小部分相似性的一般方法》使他獲得了1823年哥本哈根科學院的大獎，也使他注意到當比例常數為1時，一個曲面可以完全展開到另一個曲面上。高斯意識到這個成果的重要性，在論文的標題下面寫下了一句話：“這些結果為重大的理論鋪平了道路。”〔8〕189這里重大的理論就是高斯后來建立的內蘊幾何學。

全面展開高斯的內蘊幾何思想的是他1827年的論文《關于曲面的一般研究》，這是曲面論建立的標志性論述。〔2〕163高斯在這篇文章中有兩個重要創舉：第一，高斯曲率只依賴于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，測地三角形內角和不一定等于180°，它依賴于三角形區域的曲率積分。高斯的發現表明，至少在二維情況下可以構想一種只依賴于第一基本形式的幾何，即曲面本身就是一個空間而不需要嵌入到高維空間中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在這兩篇論文中都使用曲紋坐標(u,v)表示曲面上的一個點，這相當于建立了曲面上的局部坐標系。突破笛卡爾直角坐標的局限性是高斯邁出的重要一步，但問題是：曲紋坐標只適用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的點都有坐標表示，就需要在曲面上建立若干個局部坐標系，那么這些坐標系是否彼此協調一致？這是高斯的幾何的基礎。高斯當時不具備足夠的數學工具來發展他的幾何構想，但高斯對空間的認識深刻地影響了黎曼。

2.黎曼的“關于幾何基礎的假設”

黎曼在1851年的博士論文《單復變函數的一般理論》中，為研究多值解析函數曾使用黎曼面的概念，也就是一維復流形，但流形是什么還沒有定義。在高斯的幾何思想和赫巴特(t,1776-1841)的哲學思想的影響下,黎曼1854年在哥廷根做了著名演講《關于幾何基礎的假設》，演講中他分析了幾何的全部假設，建立了現代的幾何觀。〔5〕2全文分三部分，第一部分是n維流形的概念，第二部分是適用于流形的度量關系，第三部分是對空間的應用。

黎曼在開篇中提到：“幾何學事先設定了空間的概念，并假設了空間中各種建構的基本原則。關于這些概念，只有敘述性的定義，重要的特征則以公設的形態出現。這些假設(諸如空間的概念及其基本性質)彼此之間的關系尚屬一篇空白；我們看不出這些概念之間是否需要有某種程度的關聯，相關到什么地步，甚至不知道是否能導出任何的相關性。從歐幾里得到幾何學最著名的變革家雷建德，這一領域無論是數學家還是哲學家都無法打破這個僵局。這無疑是因為大家對于多元延伸量的概念仍一無所知。因此我首先要從一般量的概念中建立多元延伸量的概念。”〔9〕411從開篇中我們可以看到黎曼演講的目的所在：

建立空間的概念，因為這是幾何研究的基礎。黎曼為什么要建立空間的概念？這與當時非歐幾何的發展有很大關系。羅巴切夫斯基(hevsky,1793-1856)和波約(,1802-1860)已經公開發表了他們的非歐幾何論文，高斯沒有公開主張非歐幾何的存在，但他內心是承認非歐幾何并做過深入思考的。然而就整個社會而言，非歐幾何尚未完全被人們接受。黎曼的目的之一，是以澄清空間是什么這個問題來統一已經出現的各種幾何；并且不止如此，黎曼主張一種幾何學的全局觀：作為任何種類的空間里任意維度的流形研究。

黎曼在第一部分中引入了n維流形的概念。他稱n維流形為n元延伸量，把流形分為連續流形與離散流形，他的研究重點是把連續流形的理論分為兩個層次，一種是與位置相關的區域關系，另一種是與位置無關的大小關系。用現代術語來講，前者是拓撲的理論，后者是度量的理論。黎曼是如何構造流形呢？他的造法類似于歸納法，n+1維流形是通過n維流形同一維流形遞歸地構造出來的；反過來，低維流形可以通過高維流形固定某些數量簡縮而成。這樣每一個n維流形就有n個自由度，流形上每一點的位置可以用n個數值來表示，這n個數值就確定了一個點的局部坐標。黎曼這種構造流形的方法顯然是受到赫巴特的影響。赫巴特在《論物體的空間》中提到：

“從一個維度前進到另一個維度所依據的方法，很明顯是一個始終可以繼續發展的方法，然而現在還沒有人會想到按空間的第三個維度去假設空間的第四個維度。”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的啟發并突破了三維的限制按遞歸的方法構造了n維流形，這種構造方法體現了幾何語言高維化的發展趨勢。從本質上講，黎曼的“流形”概念與當時格拉斯曼(h.ann,1809-1877)的“擴張”概念和施萊夫利(l.schlafli,1814-1895)的“連續體”概念基本一致.〔6〕83流形應具有哪些特征呢？黎曼提到：

“把由一個標記或者由一條邊界確定的流形中的特殊部分稱為量塊(quanta)，這些量塊間數量的比較在離散情形由數數給出，在連續情形由測量給出。測量要求參與比較的量能夠迭加，這就要求選出一個量，作為其他量的測量標準。”〔9〕413黎曼在此使用的量塊體現了現在拓撲學中的鄰域概念的特征，“參與比較的量能夠迭加”則是要求兩個量塊重疊的部分有統一的測量標準，即保證任意兩個局部坐標系的相容性，這在后來由希爾伯特發展為n維流形局部與n維歐氏空間的同胚。黎曼這種引入點的坐標的方法并不是很清晰的，這種不清晰來自他缺乏用鄰域或開集來覆蓋流形進而建立局部坐標系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼討論了流形上容許的度量關系。他在流形的每一點賦予一個正定二次型，借助高斯曲率給出相應的黎曼曲率概念。進一步，黎曼陳述了一系列曲率與度量的關系。曲面上的度量概念，等價于在每一點定義一個正定的二次型，亦稱為曲面的第一基本形式。自高斯以來，第一基本形式的內蘊幾何學幾乎一直占據著微分幾何的中心位置。從后來的希爾伯特和外爾的流形的定義可看出，他們都延續了高斯的內蘊幾何思想。

3.希爾伯特的公理化方法。

從19世紀70年代起，康托爾(g.cantor,1845-1918)通過系統地研究歐幾里得空間的點集理論，創立了一般集合論，給出了許多拓撲學中的概念。康托爾的研究為點集拓撲學的誕生奠定了基礎，這使得希爾伯特能夠利用一種更接近于拓撲空間的現代語言發展流形的概念。希爾伯特在1902年的著作《幾何基礎》中引進了一個更抽象的公理化系統，不但改良了傳統的歐幾里得的《幾何原本》，而且把幾何學從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論。在這部著作中他嘗試以鄰域定義二維流形(希爾伯特稱之為平面，而把歐氏平面稱為數平面)，提出了二維流形的公理化定義：

“平面是以點為對象的幾何，每一點a確定包含該點的某些子集，并將它們叫做點的鄰域。

(1)一個鄰域中的點總能映射到數平面上某單連通區域，在此方式下它們有唯一的逆。這個單連通區域稱為鄰域的像。

(2)含于一個鄰域的像之中而點a的像在其內部的每個單連通區域，仍是點a的一個鄰域的像。若給同一鄰域以不同的像，則由一個單連通區域到另一個單連通區域之間的一一變換是連續的。

(3)如果b是a的一個鄰域中的任一點,則此鄰域也是b的一個鄰域。

(4)對于一點a的任意兩個鄰域,則存在a的第三個鄰域，它是前兩個鄰域的公共鄰域。

(5)如果a和b是平面上任意兩點,則總存在a的一個鄰域它也包含b.”

〔12〕150可以看出在希爾伯特的定義中，(1)和(2)意味著在平面(二維流形)的任意一點的鄰域到數平面(歐氏平面)的某單連通區域上都能建立同胚映射。(3)-(5)意圖是要在平面(二維流形)上從鄰域的角度建立拓撲結構。希爾伯特的定義延續了黎曼指明的兩個方向：流形在局部上是歐氏的(這一點黎曼已經以量塊迭加的方式提出)，在整體上存在一個拓撲結構。這個拓撲結構希爾伯特顯然要以公理的方法建立(這一工作后來由豪斯道夫完成，豪斯道夫發展了希爾伯特和外爾的公理化方法，在1914年的著作《集論基礎》中以鄰域公理第一次定義了拓撲空間)，〔13〕249但與豪斯道夫的鄰域公理相比，他的定義還不完善，比如(3)中描述的實際上是開鄰域。另外，他沒有提流形須是一個豪斯道夫空間。希爾伯特已經勾勒出流形的基本框架，隨著拓撲學的發展，外爾完善了希爾伯特的工作，給出了流形的現代形式的定義。

4.外爾對流形的現代形式的定義。

(a)給定一個稱為”流形f上的點“的集合，對于流形f中的每一點p,f的特定的子集稱為f上點p的鄰域。點p的每一鄰域都包含點p,并且對于點p的任意兩個鄰域，都存在點p的一個鄰域包含于點p的那兩個鄰域中的每一個之內。如果u0是點p0的一個鄰域，并且點p在u0內，那么存在點p的一個鄰域包含于u0.如果p0和p1是流形f上不同的兩個點，那么存在p0的一個鄰域和p1的一個鄰域使這兩個鄰域無交，也就是這兩個鄰域沒有公共點。

(b)對于流形f中每一定點p0的每一個鄰域u0,存在一個從u0到歐氏平面的單位圓盤k0(平面上具有笛卡爾坐標x和y的單位圓盤x2+y21)內的一一映射，滿足(1)p0對應到單位圓盤的中心；(2)如果p是鄰域u0的任意點，u是點p的鄰域且僅由鄰域u0的點組成，那么存在一個以p的像p′作為中心的圓盤k,使得圓盤k中的每一點都是u中一個點的像；(3)如果k是包含于圓盤k0中的一個圓盤，中心為p′，那么存在流形f上的點p的鄰域u,它的像包含于k.”〔15〕17可以看出，(a)從鄰域基的角度定義了f是一個豪斯道夫空間。(b)中的映射為一一的、雙向連續的(即同胚)映射，這樣(b)定義了f中任意一點都有一個鄰域同胚于歐氏空間中的一個開集。外爾給出的這個定義正是現代形式的流形的定義，盡管外爾的定義是針對二維的情形，但本質上給出了流形精確的數學語言的定義，并且推廣到高維沒有任何困難。

一般認為，高維流形的公理化定義由維布倫(,1880-1960)和懷特黑德(ead,1861-1947)于1931和1932年給出，即把流形作為帶有最大坐標卡集和局域坐標連續以及各階可微變換的點集。實際上，這種看法沒有足夠重視外爾1919年對黎曼講演的注釋，特別是未能利用外爾1925年的長文《黎曼幾何思想》。事實上，除了未對高階微分結構予以明確區分外，外爾的注釋和長文中實質上包含了高維微分流形的定義。

三、流形理論的發展。

我們上面提到的流形指拓撲流形，它的定義很簡單，但很難在它上面工作，拓撲流形的一種---微分流形的應用范圍較廣。微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，是三維歐氏空間中曲線和曲面概念的推廣。可以在微分流形上賦予不同的幾何結構(即一些特殊的張量場)，對微分流形上不同的幾何結構的研究就形成了微分幾何不同的分支。常見的有：

1.黎曼度量和黎曼幾何。

仿緊微分流形均可賦予黎曼度量，且不是惟一的。有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內容，就可以測量長度、面積、體積等幾何量，這種幾何稱為黎曼幾何。黎曼這篇《關于幾何學基礎的假設》的就職演說，通常被認為是黎曼幾何學的源頭。但在黎曼所處的時代，李群以及拓撲學還沒有發展起來，黎曼幾何只限于小范圍的理論。大約在1925年霍普夫(,1894-1971)才開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關系進行研究。隨著微分流形精確概念的確立，特別是嘉當(,1869-1951)在20世紀20年代開創并發展了外微分形式與活動標架法，李群與黎曼幾何之間的聯系逐步建立了起來，并由此拓展了線性聯絡及纖維叢的研究。

2.近復結構和復幾何。

微分流形m上的一個近復結構是m的切叢tm的一個自同構，滿足j·j=-1.如果近復結構是可積的，那么就可以找到m上的全純坐標卡，使得坐標變換是全純函數，這時就得到了一個復流形，復流形上的幾何稱為復幾何。

3.辛結構和辛幾何。

微分流形上的一個辛結構是一個非退化的閉的二次微分形式，這樣的流形稱為辛流形，辛流形上發展起來的幾何稱為辛幾何。與黎曼幾何不同的是，辛幾何是一種不能測量長度卻可以測量面積的幾何，而且辛流形上并沒有類似于黎曼幾何中曲率這樣的局部概念，這使得辛幾何的研究帶有很大的整體性。辛幾何與數學中的代數幾何，數學物理，幾何拓撲等領域有很重要的聯系。

四、結語。

以上談到的是流形的公理化定義的發展歷史，其線索可概括為高斯---黎曼---希爾伯特---外爾。導致流形概念誕生的根本原因在于對空間認識的推廣：從平直空間上的幾何，到彎曲空間上的流形概念的歷史演變幾何，再到更抽象的空間---流形上的幾何。流形概念的一步步完善與集合論和拓撲學的發展，特別是鄰域公理的建立密不可分，(微分)流形已成為微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，并發展成多個分支，如黎曼幾何、復幾何、辛幾何等。所以說，幾何學發展的歷史就是空間觀念變革的歷史，伴隨著一種新的空間觀念的出現和成熟，新的數學就會在這個空間中展開和發展。

參考文獻。

〔3〕conceptofmanifold,1850-1950[c]//yofdam:elseviersciencepublisheres,1999:25-64.

〔4〕[德]莫里斯·克萊因。古今數學思想：第三冊[m].萬偉勛，石生明，孫樹本，等，譯。上海：上海科學技術出版社，2003.

數學史論文篇六

在這個寒假里，我接觸到了《數學史》這本書。這本書介紹了數學從有記載的源頭向最初的算術、幾何、統計學、運籌學等領域不斷深化發展的歷史進程，以及如今數學的發展。

這本書分為兩篇，上篇是數學簡史，下篇是數學概念小史。這本書中令我印象最深的數學家就是費馬。皮埃爾?德?費馬是屬于文藝復興時期傳統的人，他處于重新發掘古希臘知識的中心，但是他卻問了一個希臘人沒有想到過要問的問題―費馬大定理。這個問題困惑了世人358年，直到1994年的9月19日安德魯?懷爾斯才宣布解開這個問題。這個問題起源于古希臘時代，它聯系著畢達哥拉斯所建立的數學的基礎和現代數學中各種最復雜的思想。費馬大定理的故事和數學的歷史有著密不可分的聯系，它對于“是什么推動著數學發展”，或者是“是什么激勵著數學家們”提供了一個獨特的見解。費馬大定理是一個充滿勇氣、欺詐、狡猾和悲慘的英雄傳奇的核心，牽涉到數學王國中所有最偉大的英雄。巴里?梅休爾評論說，在某種意義上每個人都在研究費馬問題，但只是零星地而沒有把它作為目標，因為這個證明需要把現代數學的整個力量聚集起來才能完全解答。安德魯所做的就是再一次把似乎是相隔很遠的一些數學領域結合在一起。因而，他的工作似乎證明了自費馬問題提出以來數學所經歷的多元化過程是合理的。

讀了數學史后，我認為數學在我們的生活中扮演著不可或缺的角色，只有學好數學，學會應用數學，我們才能在這個正在向數字化發展的社會穩穩地站住腳跟。

數學史論文篇七

在數學的教學中也會將美國本土的數學家的研究內容融入到專科數學的教學中，沒講到一個數學問題都會將涉及到這個知識點的相關的數學家的研究歷史詳細的告訴學生，使學生們更能了解到數學的發展是如何一步步發展到今天這個樣，但無論怎么發展數學的歷史永遠是當今每個學生都要必須學習的地方，這樣的教學中更好的將數學史融入到數學的教學中，不僅在教學中講解本土的數學家還會將到不同國度的數學家但對數學的貢獻。因此在美國可以更好的將數學史融入到數學教學中。

2日本是如何將數學史與專科數學教學整合在一起。

日本是和我國比鄰的國家，日本的數學教學中如何使用數學史也是有一定的方法。日本的數學學習，重視基礎知識的理解，重視能力、態度和數學的思想方法的培養，并強調“使學生體會到數學學習活動的樂趣”，突出了對情感體驗和學習興趣的重視。無論是小學數學還是中學數學的教學，以及到專科數學的教學中都會將基礎知識作為學習的重點，因此在教學中涉及到不同的教學的理念。如：“高明的計算”、“古人乘法的竅門”、“秀吉令人驚奇的故事”、“測量的技巧”、“離不開數學的人們”、“電子計算機的誕生”。它們旨在幫助學生理解數量和圖形的有關概念在人類活動中的發展過程，提高學生對數學的興趣、關心和學習的欲望，給學生以學習數學的動力。因此日本能很好的將數學教學和數學史進行有效的整合，將學生的興趣作為數學教學的基本，然后通過數學史的內容和數學教學融合在一起，就會激發學生們的學習積極性，這些教學理念和中國的教學有幾分相似之處。

3德國是如何將數學史與專科數學教學整合在一起。

德國是一個歐洲國家，發達的經濟背后更注重學生的學習，對于數學的教學中更關注他的實踐作用，在教學中涉及到的內容也會和數學史聯合起來。沒有數學的發展歷史就不會當前發達的數學，因此在數學的教學涉及到的數學史的內容也很多，在數學的教材中有100多處涉及到數學史，將數學史編到數學的教材中，而不是單獨列出數學史作為一個單獨的科目，而是有機的將數學史融合到數學的教學中，這樣不僅可以讓數學教師更容易的將數學教學和數學史聯合在一起而且更能將這兩者教學很好的告訴學生。德國這種教學方式更能使學生們接受并達到更好的學習效果。如在自然數表達一節就介紹了數表達的歷史特別是羅馬數系；在韋達定理的應用一節就介紹了數學家韋達。而在大數定律一節則介紹了數學家雅各布伯努利。這些教程中的內容不僅可以給數學教師指出一條更好的教學之路，還能將數學的教學有效的教給學生，學生學到的知識就會更明確。

4其他國家是如何將數學史與專科數學教學整合在一起。

其他國家中對數學的教學和數學史的整合的現狀，不同國家得到的結果也不盡相同。歐洲國家中除了德國還有法國，法國指出了數學史要和專科數學教學中的各項內容要一一結合，只要有數學內容就應該涉及到數學史，將數學史有機的融合到數學的教學的每一個章節。歐洲國家中另一個國家英國，英國要求學生們要知道數學史，并對涉及到數學教學中的數學史要詳細的.研讀如數學家的名字以及他們的業績和生平。并作為考試內容重點來考察，這樣的教學要求可以激起學生們的獨立學習的能力，更能將數學史整合到數學的教學中。其他國家還有俄羅斯，作為中國相鄰的國家，俄羅斯的數學教學中也涉及到數學史，主要還是將數學史作為一門單獨的課程，在教學中涉及的內容也不多，主要還是學生們的自學，對數學史和數學教學的整合存在一定的差距。不同的國家對數學教學的重視程度不同在數學史與數學教學中的整合也存在一定的差距，無論怎么樣的發展，數學史作為一個學科也越來越多的受到教師的重視，在整合的路上還有一段路要走。

5結語。

新課改的不斷進行，也為我國的教學提出了一些實際的問題，如何做好新課改下的數學教學，這也是每個教學必須要研究好思考的問題，對不同國家中數學史與專科數學教學的整合現狀，我們看到的還是不足之處，借鑒不同國家的經驗，應用到我國的數學教學中可以更好的教學，還可以看到我們的不足，取長補短，發揮各自的優勢。對我國的數學史的了解，以及其他國家的數學史也要了解，數學不僅涉及到本土的內容，還會涉及到不同國家杰出的數學家的貢獻，知識是可以共榮，我國的數學教學重要也要多引用其他國家著名的數學家的研究內容用于我國的專科數學教學中，這也是新課改的言外之意，充分的利用各國先進的教學，將數學史融合到專科數學的教學中，充分發揮各自的優勢為我國的數學教學做出貢獻。數學史與專科數學教學的整合的問題還在不斷的進行著，克服當前存在的問題，尋求解決的辦法，還是需要一段路要走。

數學史論文篇八

摘要：像其它院校教學一樣，在職業技術院校的數學教育中，數學史不僅發揮著不可磨滅的作用，而且能夠有效的開發學生的數學思維能力，讓學生懂得掌握數學的思想。因此，文章就數學史的教育價值進行了一定程度的分析，以便進一步發揮數學史的教育價值。

只有真正讀懂歷史、懂得歷史的人，才能夠對于數學進行進一步的理解。法國著名的數學家亨利龐加萊曾經說過這樣一句話：“如果我們想要對數學的未來進行預測，我們首先就需要了解到數學這一門學科的歷史以及現狀。”隨著最近幾年職業技術院校的教育改革來看，已經將數學的文化價值推到了臺前，也就使得人們對于數學史的關注越來越多。

數學史作為一門科學，研究了數學科學的發展以及規律，換句話說，就是對于數學研究的歷史。數學史不僅僅是對數學內容、思想、方法的一種追溯，更多的是對于影響數學發展的各種因素的探索，也包含了在人類文明的發展上，數學史所帶來的影響。所以，數學史不僅僅只是包含了數學本身，更多的是包含了文化、歷史、哲學等眾多的學科，屬于一門交叉性較強的學科。

二、數學史在職業技術學校開展的必要性。

在職業技術學院這一大環境之下，很多教師對于數學這一門課程都沒有足夠的重視，就談不上數學史的教學了。因為，很多教師和學生都認為職業技術學院的學生就是為了學習專業的技術而來的，對于一些純理論的東西是可有可無的。因此，在數學系當中，對于數學史的學習就沒有引起足夠的重視，而數學史知識的嚴重缺乏也就成為了學生在之后數學教育或者是科研方面的一大阻礙。因此，無論是否是職業技術學校，我們都需要從心里認識到數學史教育的必要性，要了解數學史的教育價值，從而在日常的教學當中，將數學史當做一門重點來抓，從而彌補以往在數學史這一方面的不足。

三、在職業技術教育當中，數學史的價值。

在目前的職業技術院校的教育當中，已經越來越多的融入了數學史的教育，而對于數學教育，數學史的主要作用存在以下幾點：

（一）有利于幫助學生理解數學。

當數學家發現數學的時候，其思考是火熱的，但是一旦研究結束了，我們面前呈現出來的則是“冰冷”的公式。所以，通過我們對于數學史的了解以及說明，我們就能夠了解到在數學的研究當中，數學家是如何思考的、進行的。

例如：為什么古希臘人在開展數學的時候，要使用公理化的方法進行開展？古希臘人所處的是何種時代背景。而古希臘數學與中國的古代教育又存在如何的區別？弄明白了這些情況，對于學生在數學方面的理解能力的提高也有著一定的作用。而對數學老師而言，想要上好數學課，就需要自身具備良好的數學修養。

（二）有利于數學宏觀認識的提高。

作為一名專業的數學老師，并非是將書本上的知識傳授給學生就完事了，更多的是需要為學生講解數學發展的歷史。作為一名優秀的數學教師，不僅需要授人以業，更多的是需要授人以法，從而做到受人以道。而在這里所說的“法”與“道”就要求了教師能夠從宏觀方面對于數學發展的情況能夠理順，能夠深入到數學的本質當中去。數學史對于創新數學教育來說，起到了引導的作用。在數學史當中詳細的對數學家在發現與發明的過程進行了及摘，數學老師對學生進行講述后，也能夠培養學生的'創造力，讓學生懂得如何去創造。

例如:在公元263年，在我國古籍《九章算術》的注釋當中，劉微對于在圓周長計算當中的“割圓”思想提出了計算，而他在論述當中所說的：“割之彌細，所失彌少，以至于不可割，則與圓周合體，而無所失！”就成為了一種創新的激勵，激勵著學生的學習。

（三）促進學生培養良好的科學品質、正確的世界觀。

在接受職業技術教育的學生當中，大部分都是因為學生上的受過挫折的。尤其是在當今社會下注重分數輕視能力的大背景下，很多學生在思想上認為自己無法和考上了名牌大學的學生相比較，從而失去了自信心，給自己帶上了“差生”的帽子。而這一種消極的狀態則在學生日常的方方面面表現了出來。因此，他們在課堂之上除了掌握基本的知識點之外，更重要的是培養良好的人文素養。

數學史為數學教育德育功能的實現提供了一定的幫助。進行數學史教學能夠提升學生對于數學學習的興趣，也能夠達到活躍數學課堂氛圍的效果，從而有利于教學效率的提高。對于我國現代數學家的偉大貢獻的講述，能夠起到一定的激勵作用。而豐富的數學史料的融入能夠培養出學生正確的價值觀、情感以及態度。展示在數學領域當中古今中外的數學家的崇高精神以及偉大的人格對于學生培育學科精神、完善道德都起到了不可磨滅的作用。此外，在史料當中，對于數學家所犯的“低級”措施的恰當引出，對于學生正確的、理性的看待學習當中的失敗，形成良好的科學品行也起到了至關重要的作用。

（四）數學史為之后的科研事業打下了堅實的基礎。

對于學生以后的數學研究工作來說，數學史是良好的方法論基礎。“科學能夠帶給我們豐富的知識，但是歷史卻能夠讓我們擁有智慧。”現階段的職業技術學生的學生也不可能從而很多的數學科研工作。但是，數學史對于以后志向在數學方面的學生，仍然起到了重要的作用。

數學史能夠提升學生的科研意識的培養。通過數學史的學習，學生能夠清楚的了解到數學問題的提出、解決以及哪些問題一直困擾著大家。數學史也能夠為了學生之后的科研方向提供一定的基礎。目前來說，數學的各個分支發展是極為不平衡的。很多分支雖然起步相對較晚，但是依然存在較大的進步控制，而這就成為了數學工作者一展才華的天堂。雖然，目前的職業技術學校的學生對于各個數學分支的認識相對有限，并且這一種有限的認識會影響到學生以后的選擇。但是數學史的融入，不但可以幫助學生理順數學的發展，還能夠為他們之后的發展提供專業性的意見。因此，數學史的教育價值顯而易見。

總之，在職業技術教育當中，想要將數學史的價值發揮出來，還需要兩者的相互整合，有賴于所有的教學工作者的探討與摸索，也希望本文中對于數學史的教育價值的分析與闡述能夠為之后的工作盡一份微薄之力。

參考文獻:。

[1]張國定.全面認識新課程下數學史的教育價值[j].教學與管理,,(25)。

[2]岳榮華.發掘數學史在數學教學中的教育功能[j].衡水學院學報,,(01)。